√2是无理数，为什么要用线段表示?通过这个问题，能够深刻研究出有理数、无理数、复数的物理由来与本义。平时我们用到√2的这个数的频率高，是一个在数学中重要的数值。√2是无理数这点大家都知道了，可是对于为什么要用线段来刻画√2其实很多人并不清楚，所以我来解释一下。

　　有理数是“一维伸缩”的测度值

　　诸如直尺、温度计、水位计、高度计等一维测量仪，其测量值只能是有理数，规定某一点是零点坐标，就有了±整数与±分数。

　　无理数是“二维旋转”的平均值

　　在平面直角坐标系S(0,0)上，将坐标为(1,0)的单位1逆时针旋转45°得到点A(1,1)，就得到线段SA=√2。

　　同理，三角函数的大量无理数，也是通过旋转有理数坐标轴来获得。例如：sin60°=½√3。三角函数型的无理数，属于低级无理数。

　　再如，自然常数e=lim(1+1/n)^n，来自若干有理数(1+1/n)(1+1/(n+1))的依次乘积。自然常数是一个级无理数。

　　两个有理数的乘积ab的几何均值√ab或勾股均值√(a²+b²)，相当于一个有理数坐标轴旋转，就存在无理数。

　　再看，圆周率=圆周长÷直径，即π=C/d，圆周率是一个低级无理数。因为：

　　直径涉及一维直线的测度，就只能是有理数。

　　圆周涉及二维旋转的测度，就是低级无理数。

　　如果涉及多维旋转的测度，就是高级无理数。

　　虚数是“旋转实数”的代名词

　　虚数，不是虚幻想象，而是旋转实数的投影。这里把有理数轴泛化为实数轴。

　　√(-1)是旋转线段在纵轴的投影单位值，即1个i，记作：√(-1)=i。

　　把有理数坐标(0,1)旋转60°，得实数sin60°=√(3/2)，在纵轴投影出虚数√(3/2)i。

　　复数是伸缩数与旋转数的复合

　　平面直角坐标系的复数：z(a,b)=a+ib，a代表一维伸缩的实数(a,b)，i代逆时针旋转90°在纵轴的投影单位值。

　　平面极坐标系的复数：z(r,θ)=re^iθ=r(cosθ+isinθ)=r·cosθ+r×isinθ。

　　其中，r·cosθ是点乘，意味着投影在横轴上的伸缩度或“散度”，r×isinθ是叉乘，意味着投影在纵轴上的旋转度或“旋度”。

　　就本质而言，复数是在二维空间既有散度又有旋度的复合实数。

　　当复数的旋转半径r是单位1，且逆转180°时，有的欧拉公式：z(1,π)=e^iπ=cosπ+isinπ，即：e^iπ+1=0。

　　由此可见，要想在一条直线上直接标出无理数是不可能的。只有借助旋转半径例如以正方形对角线才有可能画出线段长√2来。