新的高考数学科目将导致成绩出现明显的两极分化,为了避免被淘汰,考生必须确保在综合解答大题的前3道题中获得满分。在进行第二轮复习时,需要站在高层次的角度去审视相关考察模块,并进一步整合知识点,即所谓的将书吃透。以下是关于导数专题的一些分享。
高考中的导数题通常与不等式问题紧密相关。例如,涉及到恒成立(即求解函数最值问题)、存在性、零点、根个数等问题。其解题思路主要包括以下几个方面:
1、数学语言的转化:首先要明确题目是关于导数与不等式的恒成立问题,还是存在性问题。理解解题的大方向至关重要。恒成立问题需要证明某个不等式在给定区间内始终成立;而存在性问题则要求证明在某个区间内存在满足条件的解。
此外,还需注意数学符号代表的意义(例:①e到底在题目中代表的是自然底数,还是一个普通参数。②在解决双变量问题中,使用的主元法,到底是以x为自变量,还是以其他字母参数作为自变量,不要想当然,最忌惯性思维)。③例:a^2+b^2-|a|-|b|=0(在你眼中看到的是什么),这个条件代表了什么意义?点a,b的轨迹是什么?通过配方可以看到是一个圆。题目本身给出的是一个方程,但可以转化成分别在四个象限内对称圆弧的问题。
2、确定函数的性质,例如单调性甚至凸凹性:利用导数来判断函数的单调性是解决这类问题的关键步骤。根据导数的正负,可以确定函数在特定区间内的增减性,从而进一步分析不等式的性质。需要深入了解函数的单调性、凸凹性与原函数之间的对应关系。有时,需要考虑凸凹反转的概念,以及它在问题中的作用。
注意,在题目中没有给出连续可导,或者不能推出连续可导,不能通过求导来判断单调性,只能通过定义来比较判断大小。
3、构造函数:根据题目要求,构造一个新的函数(例如同构、异构皆属此类),并研究其性质。思考一下为什么要构造函数?什么情况下才需要构造函数?实际就是给具体问题进行建模。特别注意的是:一道复杂综合导数题目,可以将切线放缩、同构、换元等三种以上的方法融合到一起。
例:①放缩构造;②为简化计算取题目给出的部分解析式或导数的部分解析式予以构造。③临近构造,即给出一个函数的复杂解析式,通过构造一个简单函数分析其单调性,在运用到复杂函数中,这通常是一类比较困难的题目(已知f’(x)>2f(x),e^(2ax)*f(lnx)<x^2*f(ax),求a的取值范围,通过构造函数g(x)=f(x)/e^2x,从而转化出f’(x)>2f(x)的条件,本题答案为(1/e,+∞))。
4、数形结合:在圆锥曲线部分、数列部分、甚至概率统计部分也会使用到函数与方程的思想,通过求导研究其最值问题。实际上高中学习的内容都可以归结为广义的函数问题(①圆锥曲线是隐函数,在求其切线时,使用隐函数求导是便捷和快速的,②注意:圆锥曲线是圆在另个一个平面上的投影,因此产生了仿射变换)。
5、借助不等式性质:解决问题时,要灵活应用不等式的基本性质,比如加法、乘法、开方等操作对不等式的影响,以及不等式的传递性、可加性等。对于多参数问题或适用不等式的情况,通常首选考虑不等式,可大大简化计算过程。
6、分类讨论:对于复杂的问题,通常需要对参数进行分类讨论。通过分析不同参数取值下函数的性质,可以针对各种情况进行分类讨论,从而得到全面的解答。
注意:这里又分为参数的全分离和参数的半分离,以及参数不能分离(当求导得到的式子较复杂,难以判断极值时,是不适合分离参数。例:①导函数分离参数变量后除式符号无法确定,这个时候就需要讨论几种情况最后取并集才能得到最大值,②n阶导后x的次数被不断提升)的情况。③此外,参变分离也一般不用于求交点个数的问题(交点个数问题适用数形结合的情况较多)