较近很多省市都举行了高三一模考试，考完试考生们都想要知道考试的答案，下面伊顿教育小编为大家加整理分享南通、泰州市2018届高三一模数学试题及答案，考生可以对照试题及答案核对一下自己的答案，小编提醒大家考试只是学校对大家的近期复习的一种检测，无论成绩好坏大家都要调整好心态继续为高考加油!

　　(160分，考试时间120分钟)

　　参考公式：

　　柱体的体积公式：V柱体=Sh，其中S为柱体的底面积，h为高.

　　一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

　　1. 已知集合A={-1，0，a}，B={0，a}.若B⊆A，则实数a的值为________.

　　2. 已知复数z=1+4i1-i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________.

　　3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生.

　　4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.

　　5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________.

　　6. 若实数x，y满足y≥1，y≤3，x-y-1≤0，则2x—y的较大值为________.

　　7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线y2=8x的焦点，则点F到双曲线x216-y29=1的渐近线的距离为________.

　　8. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+6a4，则a3的值为________.

　　9. 在平面直角坐标系xOy中，将函数y=sin2x+π3的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________.

　　10. 若曲线y=xlnx在x=1与x=t处的切线互相垂直，则正数t的值为________.

　　11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为93 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)

　　(第11题)　 (第12题)

　　12. 如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，AD=1.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ=45°，则AP→•AQ→的较小值为________.

　　13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM的长度的较大值为________.

　　14. 已知函数f(x)=x2-2ax-a+1，x≥0，ln(-x)， x<0，g(x)=x2+1-2a.若函数y=f(g(x))有4个零点，则实数a的取值范围是________________.
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　　二、 解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

　　15. (本小题14分)

　　如图，在三棱锥PABC中，AB⊥PC，CA=CB，M是AB的中点.点N在棱PC上，D是BN的中点.

　　求证：(1) MD∥平面PAC;

　　(2) 平面ABN⊥平面PMC.

　　16. (本小题14分)

　　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2=b2+c2-bc，a=152b.

　　(1) 求sinB的值;

　　(2) 求cosC+π12的值.

　　17. (本小题14分)

　　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为42.

　　(1) 求椭圆的标准方程;

　　(2) 已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=89上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程.

　　18. (本小题16分)

　　如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.(道路宽度忽略不计)

　　(1) 若PB经过圆心，求点P到AD的距离：

　　(2) 设∠POD=θ，θ∈0，π2.

　　①试用θ表示EF的长度;

　　②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和较大.

　　19. (本小题16分)

　　已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a，b∈R)有极值，且函数f(x)=(x+a)ex的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)

　　(1) 求b关于a的函数关系式;

　　(2) 当a>0时，若函数F(x)=f(x)-g(x)的较小值为M(a)，证明：M(a)<-73.

　　20. (本小题16分)

　　若数列{an}同时满足：①对于任意的正整数n，an+1≥an恒成立;②若对于给定的正整数k，an-k+an+k=2an对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{an}是“R(k)数列”.

　　(1) 已知an=2n-1，n为奇数，2n， n为偶数，判断数列{an}是否为“R(2)数列”，并说明理由;

　　(2) 已知数列{bn}是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b3p-3，b3p-1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：{bn}是等差数列. 

　　数学附加题

　　(本部分40分，考试时间30分钟)

　　21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

　　A. [选修41：几何证明选讲](本小题10分)

　　如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O2的半径为1，两圆外切于点T.点P为⊙O1上一点，PM与⊙O2切于点M.若PM=3，求PT的长.

　　B. [选修42：矩阵与变换](本小题10分)

　　已知x∈R，向量01是矩阵A=1x02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A-1.

　　C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题10分)

　　在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与曲线x=t-1，y=t2-1(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长.

　　D. [选修45：不等式选讲](本小题10分)

　　已知a>1，b>1，求b2a-1+a2b-1的较小值.

　　【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

　　22. (本小题10分)

　　如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP=AB=AD=4，BC=2.

　　(1) 求二面角PCDA的余弦值;

　　(2) 已知点H为线段PC上异于C的点，且DC=DH，求PHPC的值.

　　23. (本小题10分)

　　(1) 用数学归纳法证明：当n∈N*时，cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx=sinn+12x2sin12x-12(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z);

　　(2) 求sinπ6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+…+2 018sin2 018π6的值.
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　　2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案

　　1. 1　2. -32　3. 25　4. 10　5. 12　6. 5　7. 65

　　8. 3　9. π6　10. e-2　11. 210　12. 42-4

　　13. 32　14. 5-12，1∪(1，+∞)

　　15. 解析：(1) 在△ABN中，M是AB的中点，

　　D是BN的中点，

　　所以MD∥AN.(3分)

　　因为AN⊂平面PAC，MD⊄平面PAC，

　　所以MD∥平面PAC.(6分)

　　(2) 在△ABC中，CA=CB，M是AB的中点，

　　所以AB⊥MC.(8分)

　　因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平面PMC，PC∩MC=C，

　　所以AB⊥平面PMC.(11分)

　　因为AB⊂平面ABN，

　　所以平面ABN⊥平面PMC.(14分)

　　16. 解析：(1) 在△ABC中，根据余弦定理及a2=b2+c2-bc得，cosA=b2+c2-a22bc=12.

　　因为A∈(0，π)，所以A=π3.(3分)

　　在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB得

　　sinB=basinA=215×32=55.(6分)

　　(2) 因为a=152b>b，

　　所以A>B，即0

　　又sinB=55，所以cosB=1-sin2B=255.(9分)

　　在△ABC中，A+B+C=π，

　　所以cosC+π12=cosπ-A-B+π12

　　=-cosB+π4(12分)

　　=-cosBcosπ4-sinBsinπ4

　　=-255×22-55×22=-1010.(14分)

　　17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c，由题意得ca=22，2a2c=42，(2分)

　　解得a=2，c=2，所以b=2.

　　所以椭圆的方程为x24+y22=1.(4分)

　　(2) 方法一：因为S△AOB=2S△AOM，

　　所以AB=2AM，

　　所以M为AB的中点.(6分)

　　因为椭圆的方程为x24+y22=1，

　　所以A(-2，0).

　　设M(x0，y0)，则B(2x0+2，2y0).

　　所以x20+y20=89，　　　　　　　　①

　　(2x0+2)24+(2y0)22=1, ②(10分)

　　由①②得9x20-18x0-16=0，

　　解得x0=-23，x0=83(舍去).

　　把x0=-23代入①，得y0=±23，(12分)

　　所以kAB=±12，

　　因此，直线AB的方程为y=±12(x+2)，

　　即x+2y+2=0或x-2y+2=0.(14分)

　　方法二：因为S△AOB=2S△AOM，所以AB=2AM，

　　所以M为AB的中点.(6分)

　　设直线AB的方程为y=k(x+2).

　　由x24+y22=1，y=k(x+2)得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0，

　　所以(x+2)[(1+2k2)x+4k2-2]=0，

　　解得xB=2-4k21+2k2.(8分)

　　所以xM=xB+(-2)2=-4k21+2k2，yM=k(xM+2)=2k1+2k2，(10分)

　　代入x2+y2=89得，

　　-4k21+2k22+2k1+2k22=89，

　　化简得28k4+k2-2=0，(12分)

　　即(7k2+2)(4k2-1)=0，解得k=±12，

　　所以直线AB的方程为y=±12(x+2)，

　　即x+2y+2=0或x-2y+2=0.(14分)

　　18. 解析：以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.

　　(1) 直线PB的方程为y=2x，

　　半圆O的方程为x2+y2=402(y≥0)，(2分)

　　由y=2x，x2+y2=402，y≥0得y=165.

　　所以点P到AD的距离为165 m.(4分)

　　(2) ①由题意得P(40cosθ，40sinθ).

　　直线PB的方程为

　　y+80=sinθ+2cosθ+1(x+40)，令y=0，得

　　xE=80cosθ+80sinθ+2-40=80cosθ-40sinθsinθ+2.(6分)

　　直线PC的方程为y+80=sinθ+2cosθ-1(x-40)，

　　令y=0，得xF=80cosθ-80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2，(8分)

　　所以EF的长度为

　　f(θ)=xF-xE=80sinθsinθ+2，θ∈0，π2.(10分)

　　②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为

　　S1=12×80-80sinθsinθ+2×80=6 400sinθ+2，

　　区域Ⅱ的面积为

　　S2=12×EF×40sinθ=12×80sinθsinθ+2×

　　40sinθ=1 600sin2θsinθ+2，

　　所以S1+S2=1 600sin2θ+6 400sinθ+20<θ<π2.(3分)

　　设sinθ+2=t，则2

　　则S1+S2=1 600(t-2)2+6 400t

　　=1 600t+8t-4≥1 600(28-4)=6 400(2-1)，

　　当且仅当t=22，即sinθ=22-2时等号成立.

　　所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S1+S2的较小值为6 400(2-1)m2.

　　故当sinθ=22-2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和较大.(16分)

　　19. 解析：(1) 因为f′(x)=ex+(x+a)ex=(x+a+1)ex.令f′(x)=0，解得x=-a-1.

　　f(x)，f′(x)随x的变化列表如下：

　　所以当x=-a-1时，f(x)取得极小值.(2分)

　　因为g′(x)=3x2+2ax+b，由题意可知

　　g′(-a-1)=0，且Δ=4a2-12b>0，

　　所以3(-a-1)2+2a(-a-1)+b=0，

　　化简得b=-a2-4a-3.(4分)

　　由Δ=4a2-12b=4a2+12(a+1)(a+3)>0得a≠-32，

　　所以b=-a2-4a-3a≠-32.(6分)

　　(2) 因为F(x)=f(x)-g(x)=(x+a)ex-(x3+ax2+bx)，

　　所以F′(x)=f′(x)-g′(x)=(x+a+1)ex-[3x2+2ax-(a+1)(a+3)]

　　=(x+a+1)ex-(x+a+1)(3x-a-3)

　　=(x+a+1)(ex-3x+a+3).(8分)

　　记h(x)=ex-3x+a+3，则h′(x)=ex-3，

　　令h′(x)=0，解得x=ln 3.

　　h(x)，h′(x)随x的变化列表如下：

　　所以当x=ln3时，h(x)取得极小值，也是较小值，

　　此时h(ln3)=eln 3-3ln3+a+3=6-3ln3+a

　　=3(2-ln3)+a=3lne23+a>a>0.(10分)

　　令F′(x)=0，解得x=-a-1.

　　F(x)，F′(x)随x的变化列表如下：

　　所以当x=-a-1时，F(x)取得极小值，也是较小值，

　　所以M(a)=F(-a-1)=(-a-1+a)e-a-1-[(-a-1)3+a(-a-1)2+b(-a-1)]

　　=-e-a-1-(a+1)2(a+2).(12分)

　　令t=-a-1，则t<-1，

　　记m(t)=-et-t2(1-t)=-et+t3-t2，t<-1，

　　则m′(t)=-et+3t2-2t，t<-1.

　　因为-e-1<-et<0，3t2-2t>5，

　　所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增.(14分)

　　所以m(t)<-e-t-2<-13-2=-73，

　　所以M(a)<-73.(16分)
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　　20. 解析：(1) 当n为奇数时，an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0，所以an+1≥an.(2分)

　　an-2+an+2=2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an;(4分)

　　当n为偶数时，an+1-an=2(n+1)-2n=2>0，所以an+1≥an.

　　an-2+an+2=2(n-2)+2(n+2)=4n=2an.

　　所以数列{an}是“R(2)数列”.(6分)

　　(2) 由题意可得bn-3+bn+3=2bn，

　　则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，

　　数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，

　　数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3.(8分)

　　因为bn≤bn+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，

　　所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，

　　所以n(d2-d1)≥b1-b2，①

　　n(d2-d1)≤b1-b2+d1.②

　　若d2-d1<0，则当n>b1-b2d2-d1时，①不成立;

　　若d2-d1>0，则当n>b1-b2+d1d2-d1时，②不成立.

　　若d2-d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2.

　　同理得d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d.(12分)

　　设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ，

　　则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-[b3p+1+(n-p-1)d]

　　=b3p-1-b3p+1+d=d-λ.(14分)

　　同理可得b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ，所以bn+1-bn=d-λ.

　　所以{bn}是等差数列.(6分)

　　另解：λ=b3p-1-b3p-3=b2+(p-1)d-[b3+(p-2)d]=b2-b3+d，

　　λ=b3p+1-b3p-1=b1+pd-[b2+(p-1)d]=b1-b2+d，

　　λ=b3p+3-b3p+1=b3+pd-(b1+pd)=b3-b1，

　　以上三式相加可得3λ=2d，所以λ=23d，(12分)

　　所以b3n-2=b1+(n-1)d=b1+(3n-2-1)d3，

　　b3n-1=b2+(n-1)d=b1+d-λ+(n-1)d=b1+(3n-1-1)d3，

　　b3n=b3+(n-1)d=b1+λ+(n-1)d=b1+(3n-1)d3，

　　所以bn=b1+(n-1)d3，所以bn+1-bn=d3，

　　所以数列{bn}是等差数列.(16分)

　　21. A. 解析：延长PT交⊙O2于点C，

　　连结O1P，O2C，O1O2，则O1O2过点T.

　　由切割线定理得PM2=PC•PT=3.

　　因为∠O1TP=∠O2TC，

　　△O1TP与△O2TC均为等腰三角形，(5分)

　　所以△O1TP∽△O2TC，所以PTCT=PO1CO2=2，

　　所以PTPC=23，即PC=32PT.

　　因为PC•PT=32PT•PT=3，所以PT=2.(10分)

　　B. 解析：由已知得1x0201=x2=λ01，

　　所以λ=2，x=0，所以A=1002.(4分)

　　设A-1=abcd，

　　则AA-1=1002abcd=1001，

　　即ab2c2d=1001，

　　所以a=1，b=c=0，d=12，

　　所以λ=2，A-1=10012.(10分)

　　C. 解析：曲线x=t-1，y=t2-1的普通方程为y=x2+2x.(4分)

　　联立y=x，y=x2+2x，解得x=0，y=0或x=-1，y=-1，(8分)

　　所以A(0，0)，B(-1，-1)，

　　所以AB=(-1-0)2+(-1-0)2=2.(10分)

　　D. 解析：因为a>1，b>1，

　　所以b2a-1+4(a-1)≥4b，a2b-1+4(b-1)≥4a.(4分)

　　两式相加b2a-1+4(a-1)+a2b-1+4(b-1)≥4b+4a，

　　所以b2a-1+a2b-1≥8.(8分)

　　当且仅当b2a-1=4(a-1)且a2b-1=4(b-1)时，等号成立，

　　即当a=b=2时，b2a-1+a2b-1取得较小值为8.(10分)

　　22. 解析：以{AB→，AD→，AP→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

　　则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4).

　　(1) 由题意可知，DP→=(0，-4，4)，DC→=(4，-2，0).

　　设平面PCD的法向量为n1=(x，y，z)，

　　则n1•DP→=0，n1•DC→=0，即-4y+4z=0，4x-2y=0.

　　令x=1，则y=2，z=2.

　　所以n1=(1，2，2).(3分)

　　平面ACD的法向量为n2=(0，0，1)，

　　所以|cos〈n1，n2〉|=|n1•n2||n1||n2|=23，

　　所以二面角PCDA的余弦值为23.(5分)

　　(2) 由题意可知，PC→=(4，2，-4)，DC→=(4，-2，0).

　　设PH→=λPC→=(4λ，2λ，-4λ)，

　　则DH→=DP→+PH→=(4λ，2λ-4，4-4λ).(7分)

　　因为DC=DH，

　　所以(4λ)2+(2λ-4)2+(4-4λ)2=20，

　　化简得3λ2-4λ+1=0，所以λ=1或λ=13.

　　因为点H异于点C，所以λ=13.(10分)

　　23. 解析：①当n=1时，等式右边=sin1+12x2sin12x-12=sin1+12x-sin1-12x2sin12x=

　　12sin12x×[(sinxcos12x+cosxsin12x)-(sinxcos12x-cosxsin12x)]

　　=cosx=等式左边，等式成立.(2分)

　　②假设当n=k时等式成立，

　　即cosx+cos2x+cos3x+…+coskx=sink+12x2sin12x-12.

　　那么，当n=k+1时，有

　　cosx+cos2x+cos3x+…+coskx+cos(k+1)x

　　=sink+12x2sin12x-12+cos(k+1)x

　　=12sin12x×{sin(k+1)x-12x+2sin12x•cos(k+1)x}-12

　　=12sin12x×[sin(k+1)xcos12x-cos(k+1)xsin12x+2sin12xcos(k+1)x]-12

　　=sin(k+1)xcos12x+cos(k+1)xsin12x2sin12x-12

　　=sink+1+12x2sin12x-12.

　　这就是说，当n=k+1时等式也成立.

　　根据①和②可知，对n∈N*等式都成立.(6分)

　　(2) 由(2)可知，cosx+cos2x+cos3x+…+cos2 018x=sin2 018+12x2sin12x-12，

　　两边同时求导，得-sinx-2sin2x-3sin3x-…-2 018sin2 018x

　　=12sin212x×[(2 018+12)cos(2 018+12)xsin12x-12sin2 018+12xcos12x]，(8分)

　　所以-sinπ6-2sin2π6-3sin3π6-…-2 018sin2 018π6

　　=12sin2π12×[2 018+12cos2 018+12π6sinπ12-12sin2 018+12π6cosπ12]=

　　2 0152-3，

　　所以sinπ6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+…+2 018sin2 018π6=3-2 0152.(10分)