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高考数学圆锥曲线题型如何快速得出思路?做题时注意这几点
微尘 2024-04-10 16:43:12

  99%的新高考圆锥曲线部分的第二问或第三问考题,都涉及到曲线与直线相交的问题。实际上,导数部分的很多题目也是这种类型,比如(隐)零点问题和交点个数问题,可进行类比、归纳和总结。因此,同学们务必要注意总结这些问题的解题方法。

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  要解决这类问题,第一步就要大致画出图形【数形结合】,从一维代数线性问题(x与y的代数关系)转化到二维(坐标系中坐标的关系),从而降低理解的复杂度。

  在第二步中,可以通过设点和设线来找到这些坐标之间的关系。通过点的设定,可以表达出直线斜率之间的关系;通过设定线,则可以与圆锥曲线联立。在联立过程中,利用韦达定理将点坐标转换成一元二次方程的系数。联立的目的在于将交点转化成方程系数之间的关系,最终实现消元的目的。

  在这里多提一句,一元二次方程的几何意义是什么?答案是抛物线(二次项系数不为零),还是一个简单的多项式。这也是初中接触到的第一类圆锥曲线。判别式判定与x轴交点个数(这就是最为基础的交点问题)。

  这里为了知识不引起混淆,一定要与韦达定理进行区别。判别式用来干什么(揭示的是有无交点问题,进一步思考直线与圆锥曲线有无交点问题,上判别式判断是不是间接有效),韦达定理用来干什么(揭示的是根与系数之间的关系(建立坐标与方程系数之间的关系从而实现消元;韦达定理的逆定理是不是就能用来判定点的轨迹是否是抛物线)。

  第三步寻找斜率之间的关系。除了基本坐标点表示斜率外,一般需要通过联立直线的垂直关系、三点共线关系【两条直线的交点、或线段(弦)中点】)等予以使用。

  进一步将斜率与点坐标建立关系。从而进一步将斜率与方程系数之间构建联系。就此将多个变量问题,转化成一个或少数变量问题,从而实现消元。至此,对于定点、斜率的定积定比、斜率之和定值问题基本上就解答出来了。

  第四步圆锥曲线题目的最后一问,一般是求距离、面积等的最优问题,通常是将其表示出来,通过构造函数予以解答。这里需要注意的是,对于面积,以三角形为例,坐标之间关系很容易表示出来。

  此外,使用向量或参数方程方法,有时可以大大简化解题步骤。注意平时的练习(多角度思考问题,多几种解法)。

  总结:

  22年、23年新高考I卷圆锥曲线基本模型中都考察了双曲线,所以在这里预测24年大概率会考察椭圆。从历年高考圆锥曲线来看,其解题步骤基本符合前述内容——多变量构建关系进行消元思想。


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