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新高考数学命题趋势有哪些?如何规避出题人的命题陷阱?
微尘 2024-03-20 16:26:34

  高考命题存在一些陷阱,包括易混淆的知识点,通常是适应性测试中出现的,例如九省联考卷中大多数同学容易错的题目所涉及的知识点。还有一种陷阱是“形似神异”,例如考察数列却采用圆锥曲线作为外部形式,需要对知识点进行综合运用,因此这类题目可能会难度较高。此外,还有一种陷阱是“迷惑性的表象”,和“逻辑漏洞的陷阱”,例如忽略了定义域和值域,或者未考虑公式、定理的适用条件等情况,下面我们结合题目看一下。

  数学题目

  这题看起来就像是围棋棋盘一样(以围棋为背景的概率命题),是否会在今年的高考中出现呢?我们拭目以待,如果有巧合的话,纯属雷同。

  这道题本身具有很强的迷惑性,是一道非常出色的题目,也是非常值得推荐的。对于解题思路,特别是解答验证方面的讨论,具有很大的参考意义。其中的陷阱(表面上看起来非常直观)正是命题者的“狡猾”之处,一不小心就会让同学们陷入其中。让我们一起来看看是如何陷入这个陷阱的。

  很直观的,先来数一下,a1=5,b1=4;a2=7,b2=8;a3=9,b3=16

  an是等差数列an=a1+2,bn是等比数列bn=b1*2^(n-3)

  再来个数学归纳法不就能够证明an和bn的通项公式了么。

  看到这里必须要谨慎一点!高考题目会这么简单吗?让大家直接数出来?反思或推导一下。这里必须再次验证,例如8*8的方格,数一下黑色网格是16,白网格是48。间接证明了上面的an和bn通项是错误的。遇到特别是一眼就能看出来的,一定要小心,特别是选择填空题,一定到对其扩展,多来几项,从而发现解题的规律!

  我们来看一下为什么发生了错误。首先再深度一下题意!①格子数是行为n+2,列为n+2,要找的是{格子数}与n的关系。②黑色格子的位置仅位于整个图形的对角线上。

  发生错误的原因在于:a2因惯性思维,数着就能出错,实际上a2=8。并仅仅想当然的利用了表面上数的条件,且没有利用黑、白格的位置关系。题目给出的位置关系难道是是摆设么?不利用就能解题?(务必记住,数学科目甚至是理科科目,不能充分利用题目给出的条件,答案99%的不正确)。

  通过位置关系我们观察到,当n+2为奇数时,黑格对角线有重合;n+2为偶数时,则没有重合。使用大名鼎鼎的“分类讨论”即可。

  数学题目

  既然是数个数,对角线上看着有点麻烦,我们将黑格全部移动到变边上,可以得到如下关系。当n+2为奇数时,an=2(n+2)-1,bn=(n+2)^2-an ((n+2)^2为所有格子的总数)。当n+2为偶数时,an=2(n+2),bn=(n+2)^2-an。

  对于第二问,大家想一下1+2+3+…+100,有什么快速的算法?是不是进行分组求解,将其顺序变换一下分组1+99,1+98,第二问本质上也是如此。升华到高中数列的知识,即等差数列的中项与和的问题。

  这题实际上并不是很难,但从测试情况来看,表现不尽如人意。题目主要考察了观察分析和归纳演绎能力,前文提到了“方法穷尽用归纳”。现在我们来看一下归纳法的本质及适用条件。

  在数学归纳法中,需要进行三步走:试值 → 猜想 → 证明。解决探索性问题时,先进行实验,猜出一个可能的结果,然后验证答案的准确性,这是常见的方法。难点在于如何从第k项过渡到第k+1项的证明,以及哪些问题适合使用归纳法。

  关于归纳法的关键要素,主要包括以下几点:

  1、与自然数相关的恒等式的证明;

  2、不等式的证明,包括代数不等式和三角不等式;

  3、数列相关的问题。

  在解题过程中,对这些类型的问题,特别是涉及归纳法的问题,需要注意适用条件和方法。


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