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遇到高考创新数学题目没思路怎么办?这种解法要知道!
微尘 2024-04-07 17:18:38

  所谓创新型题目,基本上是在传统题目的基础上添加了一些新的元素。这种题目的复杂度增加了,因此在直观上理解上会有一定的难度。面对这类题目,通过仔细观察和分析,按部就班地进行,很可能会有突破性的发现。看一道下面的的题:

  数学题目

  【解析】分析上题,函数值小于0时,满足定义域内包含了3个正整数。这个函数是一个超越函数,显然直接入手(x-a)e^x-alnx<0,或者整体上画出函数图像非常困难,我们考虑对其转化。本题考虑将复合函数F(x)=f(x)+g(x)中的f(x)和g(x)分别分离到不等式两侧。分离原则是f(x)与g(x)向简单的基本函数靠拢。转化为这两个函数有交点,且有三个正整数解。【掌握基本的分离原则】

  即x-a < alnx/e^x,这里一定要做等价变形。不能直接做等价变形的要进行分类讨论。且向下看。左边不等式含a,右边不等式也含a,本题中我们希望参数a放到同一边,以便讨论。显然放置到左侧降低了接下来处理的难度。但要将其放置到左侧,因不知a的符号,显然需要分3种情况予以讨论。【分类讨论保证等价变形】

  当a=0时,显然不符合题意。

  当a<0时,x/a-1>lnx/e^x,令m(x)=x/a-1,n(x)=lnx/e^x,要使其有整数解,则x≥1,f(x)<-1,g(x)≥0,不符合题意。

  当a>0时,x/a-1<lnx/e^x,m(x)单调递增。接下来看n(x)的单调区间。n’(x)=(1-xlnx)/(xe^x),因有正数解故xe^x大于0,令g(x)=1-xlnx,g’(x)=-ln(x+1),当x>1/e时,g’(x)<0,g(x)在(1/e,+∞)上单调递减,g(1)=1,g(2)=lne/4<0,故存在x0在(1,2)使得g(x0)=0。

  即当x在[1,x0)时,n’(x)>0,n(x)单调递增,当x在(x0,+∞)时,n’(x)<0,n(x)单调递减。因n(1)=0,且x>1,g(x)>0,故不等式x/a-1<lnx/e^x三个整数解x0为集合{1,2,3},带入不等式得【题目条件的利用】

  数学不等式

  反思一下,题目给出了正整数解,待求量是参数a。给出的是超越不等式,很容易联想到利用函数的单调性。若本题采用直接对f(x)求导,xe^x的求导是(1+x)e^x,很难实现对其符号的判断。若本题考虑同构或异构行不行,感兴趣的的可以试一下。

  对于正整数解这个条件如何利用呢?这也是本题的难点,要求参数a,则必然要知道正整数解是什么。进而结合单调性和原不等式求出a。

  使用同构的原则

  结构相似性:同构的数学对象在结构上应该具有相似性。例如,两个函数可能在形式、性质或图像上表现出相似性,使得我们可以将一个函数的问题转化为另一个函数的问题来解决。

  运算或关系的一致性:在同构的对象之间,运算或关系应该保持一致。

  映射的存在性:同构通常涉及到一个或多个映射,这些映射能够保持对象的结构和运算的一致性。这些映射通常是双射的,即它们既是一一对应的(每个元素都有唯一的对应元素),也是满射的(每个元素都有对应元素)。

  代数结构的保持:在代数中,同构通常指的是两个代数结构(如群、环、域等)之间的映射,该映射保持代数运算的结构。

  几何或图形的相似性:在几何学中,同构可能指的是两个图形或空间在某种变换下保持不变的性质。例如,通过平移、旋转或缩放等变换,两个图形可能变得完全相同,从而可以认为它们是同构的。【注意与圆锥曲线的放射变换、齐次化的区别与联系】


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