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高考数学函数和圆锥曲线的解题思路总结,家长记得给孩子收藏
微尘 2024-04-01 17:00:44

  高考数学卷涉及到的函数与圆锥曲线模块是最重要的两大考点,同时也是难点。这两大模块中的难点就是“转化与化归”函数部分的重点和难点在于构造函数,圆锥曲线部分的重点和难点在于处理多参问题。因此从本质上理解这些,对高考将有很大的帮助。

高考数学

  一、构造函数

  第一,在深化对数学概念和原理的理解方面。函数的概念是高中数学的核心之一,通过构造函数,可以直观、系统地理解函数的性质,如单调性、周期性,从而运用这些性质解题。同时,构造函数也常用于解释和证明一些重要的数学定理和公式(课本上的公式、定理及其逆定理、逆命题的证明很重要!高考题目基本上都会映射到课本上的基础例题或课后习题),有助于深化对数学概念和原理的理解,并形成系统的数学知识体系。

  第二,在解题应用方面。构造函数本质上就是“转化与化归”思想的具体运用,是大家经常遇到、也头痛的问题。但由于其通用性(高中的大多模块都能与其发生联系,从而创新出新的考点),能够将复杂问题转化为更易于解决的形式(通常是依附于基本的初等函数关系转化),更易于理解和处理(转化的目标方向)。

  例如,在求解不等式恒成立、方程根的存在性(零点、隐零点问题)以及最值等问题;在解析几何和立体几何中的动点距离、面积、体积、以及二面角的最值等问题;数列中典型的特征根求通项(裴娜波切数列)【自己总结一下特征根适应的情况】;以及新情景、新定义中涉及的物理、化学、经济等情况。

  以上高考高频考点,无论是同、异构、零点、隐零点还是放缩、主元法等等皆可以看成是构造函数的一种。其本质上就是通过巧妙地构造辅助函数,并利用函数的单调性、奇偶性等性质,简化问题,找到解题的突破口。

  二、构造函数难在哪?

  构造函数的挑战在于找到适当的函数形式。这要求我们通过刷题,从不同角度审视问题,并列出相关解法,以培养数学素养和解题经验。在高考中,时间有限,不容许长时间思考,因此最好记住一些常见结论,例如常用的放缩方法和级数等。

  在构造函数之前,要对问题进行深入分析和思考,准确判断问题的类型和特点,明确问题的本质和关键所在。这样可以避免盲目构造函数而增加解题复杂度。

  第三,构造函数培养了数学思维和解题能力。构造函数要求具备观察、分析和创新能力,通过不断的实践和训练,数学思维能力会得到显著提升。同时,构造函数也能够锻炼解题技巧,提高解决具体复杂问题的能力。

  三、圆锥曲线解题指导思想

  圆锥曲线题目一般是多元、多参问题,首要任务就是消参,消参的手段有很多,可以利用圆锥曲线的定义(有几种定义)性质,也可借助于配凑、换元的思想(例如齐次化),也可借助方程思想(韦达定理)等等。

  齐次化的思想是简化运算的解题技巧。本质上是将斜率k作为整体,即(y-m)/(x-n)的形式,获得mx+ny=1或y=kx+m中m,n或k、m之间的关系。进一步联立圆锥曲线和直线方程,将交点(x1,x2或y1,y2)表示为只含有k的表达式,来解决一些定点(直线过定点的表达形式)、定比问题、面积最优问题等。

  在其次化思想中,关键是选择坐标平移还是图形平移,不要搞混。平移后如果使用曲线或原直线要再平移回来再用。

  仿射变换思想本质是一种线性变换,通过特定的方式(平移、旋转、缩放)将一个空间内的图形变换到另一个空间内,得到与之对应的新图形。将复杂的问题简化,或者将不规则的图形转化为规则的图形。仿射变换要注意几点:①理解仿射变换的定义和性质;②变换前后的对应关系;③关注变换过程中的不变量;④变换对焦点和准线的影响。

  例如,利用仿射变换,将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题,从而借助圆中的特有性质简化解题过程。

  理解非对称韦达定理的核心在于把握其实质,即敏锐地识别出题目中所蕴含的非对称性质,并据此构建适当的方程或不等式。重点在于理解判别式的价值,因为它能决定方程的根的特性,包括是否存在实根、虚根或重根等情况。

  非对称韦达定理通常被用于解决涉及到两个非对称交点的问题。通过运用韦达定理中根与系数之间的关系,可以建立关于这两个交点的方程或不等式,从而推进求解过程(实质上是增加了问题的转化次数)。因此,具体问题的解决方法因题而异,需要根据具体情况灵活应用。


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