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2018中考数学题|四边形的存在性问题,备战中考快人一步!
小新 2017-09-14 15:01:23

  经历过中考的学生都知道,中考数学中,四边形的存在性问题主要考查是否存在某点能构成平行四边形、菱形特殊四边形的问题,往往结合动点、函数与几何,考查分类讨论、数形结合构建等式关系。这类题型比较难,伊顿教育小编接下来给大家剖析四边形的存在性问题,让你备战中考快人一步!希望此文对大家有所帮助。更多教育资讯与学习资料的领取取,敬请关注伊顿教育陕西网站!

2018中考数学题|四边形的存在性问题,备战中考快人一步!

  此类题型的解答,首先要寻找定量,结合特殊四边形判定确定分类,再把四边形的存在性转化为点的存在性或三角形的存在性,然后借助几何特征建立等式。

  【题目】 如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-5/2)三点.

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值较小,求点P的坐标;

  (3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.

2018中考数学题|四边形的存在性问题,备战中考快人一步!

  【解析】

  (1)设抛物线的解析式为 y=ax^2 + bx + c,将A,B,C三点代入,得y=1/2 x^2 - 2x - 5/2.

  (2)由题意知,点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P,则P点 即为所求.

  设直线BC的解析式为y=kx + b,两点代入得k=1/2,b=-5/2,即y=1/2 x - 5/2.

  ∵抛物线 y=1/2 x^2 - 2x - 5/2的对称轴是2x,∴当x=2时,y=1/2 x - 5/2= -3/2.

  ∴点P的坐标是(2, -3/2).

  (3)存在

  (i)当存在的点N在x轴的下方时,如图所示,∵四边形ACNM是平行四边形,∴CN//x轴,∴点C与点N关于对称轴x=2对称,∵C点的坐标为(0, -5/2),∴点N的坐标为(4, -5/2).

  (II)当存在的点N'在x轴上方时,如图所示,作N'H ⊥x轴于点H,∵四边形ACM'N'是平行四边形,∴AC=M'N',∠N'M'H=∠CAO,∴Rt△CAO ≌Rt△N'M'H,∴N'H=OC.

  ∵点C的坐标为(0,-5/2),∴N'H=5/2,即N点的纵坐标为5/2,∴1/2x^2 - 2x - 5/2 = 5/2,即x^2-4x-5=0.

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