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√2是无理数,为什么要用线段表示?
楠哥 2019-11-30 10:33:37

  √2是无理数,为什么要用线段表示?通过这个问题,能够深刻研究出有理数、无理数、复数的物理由来与本义。平时我们用到√2的这个数的频率高,是一个在数学中重要的数值。√2是无理数这点大家都知道了,可是对于为什么要用线段来刻画√2其实很多人并不清楚,所以我来解释一下。

  有理数是“一维伸缩”的测度值

  诸如直尺、温度计、水位计、高度计等一维测量仪,其测量值只能是有理数,规定某一点是零点坐标,就有了±整数与±分数。

  无理数是“二维旋转”的平均值

  在平面直角坐标系S(0,0)上,将坐标为(1,0)的单位1逆时针旋转45°得到点A(1,1),就得到线段SA=√2。

  同理,三角函数的大量无理数,也是通过旋转有理数坐标轴来获得。例如:sin60°=½√3。三角函数型的无理数,属于低级无理数。

√2是无理数,为什么要用线段表示?

  再如,自然常数e=lim(1+1/n)^n,来自若干有理数(1+1/n)(1+1/(n+1))的依次乘积。自然常数是一个级无理数。

√2是无理数,为什么要用线段表示?

  两个有理数的乘积ab的几何均值√ab或勾股均值√(a²+b²),相当于一个有理数坐标轴旋转,就存在无理数。

  再看,圆周率=圆周长÷直径,即π=C/d,圆周率是一个低级无理数。因为:

  直径涉及一维直线的测度,就只能是有理数。

  圆周涉及二维旋转的测度,就是低级无理数。

  如果涉及多维旋转的测度,就是高级无理数。

  虚数是“旋转实数”的代名词

  虚数,不是虚幻想象,而是旋转实数的投影。这里把有理数轴泛化为实数轴。

  √(-1)是旋转线段在纵轴的投影单位值,即1个i,记作:√(-1)=i。

  把有理数坐标(0,1)旋转60°,得实数sin60°=√(3/2),在纵轴投影出虚数√(3/2)i。

  复数是伸缩数与旋转数的复合

  平面直角坐标系的复数:z(a,b)=a+ib,a代表一维伸缩的实数(a,b),i代逆时针旋转90°在纵轴的投影单位值。

  平面极坐标系的复数:z(r,θ)=re^iθ=r(cosθ+isinθ)=r·cosθ+r×isinθ。

  其中,r·cosθ是点乘,意味着投影在横轴上的伸缩度或“散度”,r×isinθ是叉乘,意味着投影在纵轴上的旋转度或“旋度”。

√2是无理数,为什么要用线段表示?

  就本质而言,复数是在二维空间既有散度又有旋度的复合实数。

  当复数的旋转半径r是单位1,且逆转180°时,有的欧拉公式:z(1,π)=e^iπ=cosπ+isinπ,即:e^iπ+1=0。

  由此可见,要想在一条直线上直接标出无理数是不可能的。只有借助旋转半径例如以正方形对角线才有可能画出线段长√2来。

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